| 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 且 ，若 则
（ ）
A． B． C． D．
2．函数 的反函数的图象是 （ ）
3．若 ，则 成立的一个充分不必要的条件是 （ ）
A. B. C. D.
4．实数 满足 ,则 的值为 （ ）
A．8 B．－8 C．8或－8 D．与θ有关
5．如图，正三棱锥A—BCD中，点E在棱AB上，点F在棱CD上，并使 ，其中 ，设α为异面直线EF与AC所成的角，β为异面直线EF与BD所成的角，则α+β的值为 （ ）
A． B．
C． D．与 有关的变量
6．已知点F1，F2分别双曲线 的左，右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的范围是（ ）
A．（1，+∞） B．（1，1+ ） C．（1， ） D．（1－ ）
7．函数 与 有相同的定义域，且对定义域中任何x，有 ，若g(x)=1的解集是{x|x=0}，则函数F（x）= 是 （ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
8．在轴截面是直角三角形的圆锥内，有一个体积最大的内接圆柱，则内接圆柱的体积与圆锥的体积的比值是 （ ）
A． B． C． D．
9．当n∈N且n≥2时，1+2+22+…+24n-1=5p+q，其中p,q为非负整数，且0≤q＜5，则q的值为 （ ）
A.0 B.2 C.2 D.与n有关
10．过曲线C：x2+ay2=a外一点M作直线l1交曲线C于不同两点P1，P2，线段P1P2的中点为P，直线l2过P点和坐标原点O，若l1⊥l2，则a的值为 （ ）
A．1 B．2 C．－1 D．无法确定
11．在△ABC中，如果4sinA+2cosB=1,2sinB+4cosA=3 ,则∠C的大小是 （ ）
A．30° B．150° C．30°或150° D．60°或120°
12．若函数 的图象如图，则a的取值范围是
（ ）
A．（－∞,－1） B．（－1，0）
C．（0，1） D．（1，+∞）
第Ⅱ卷 (非选择题)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
13．某校编写了甲、乙、丙、丁四门选修课教材，在同一学年的五个班级试用。要求：每个班级只开设一门选修课；只有一、二班开设相同的选修课，且三班不开设甲门选修课，则不同的开设方法共有 种（用数字作答）
14．（理）函数 的最大值是
（文）函数 的最大值是
15．设正数数列{ an}为等比数列，且a2=4,a4=16,则
16．（理）给出下列命题：
①当x∈（-1，1）时arctgx>arcctgx;
②极坐标方程ρcscθ=1表示一条直线；
③arcsin〔cos(－ )〕= ；
④方程 (r为参数， )表示过点（0，-1）倾斜角为 的直线。
其中正确命题的序号有 （把你认为正确的都填上）
（文）给出下列命题：
①若α，β是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ;
②函数y=cos(2x+ )的图象的一条对称轴方程是x=－ ；
③把函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象；
④图象与函数 的图象关于直线 对称的函数是y=-tgx其中正确 命题的序号有 （把你认为正确的都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
若方程 （其中 的两实根为α、β，数列1，
，（ ，……的所有项的和为2－ ，试求θ的值。
18．（本小题满分12分）
已知z1是非零复数，argz1= ，且（1+ （其中k∈R）
（Ⅰ）试求复数z1;
（Ⅱ）(理)若|z2|≤1，试求arg（ ）的取值范围；
（文）若|z2|=1,试求|z1+z2+1|的取值范围。
19．（本小题满分12分）
在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，
S D= ，在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC，截面CDE与SB交于点F。
（Ⅰ）求证：四边形EFCD为直角梯形；
（Ⅱ）求二面角B-EF-C的平面角的正切值；
（Ⅲ）设SB的中点为M，当 的值是多少时，能使△DMC为直角三角形？请给出证明。
20．（本小题满分12分）
一个有140名职工的合资企业投资生产甲、乙两种不同产品，2000年该企业生产的甲产品创外汇32万元，乙产品创外汇216万元，该企业以后每年所创外汇是甲产品以2.25倍的速度递增，而生产乙产品的机器由于老化的原因，每年创外汇为上年的 。这个企业只要年人均创外汇达3万元就可以列入国家重点企业。若以2000为第一年，问：
（Ⅰ）从哪一年开始，甲产品年创外汇超过乙产品年创外汇（lg2=0.3010,lg3=0.4771）
（Ⅱ）该企业哪一年所创外汇最少？该年甲、乙两种产品各创外汇多少万元？
（Ⅲ）该企业到2003年能否进入国家重点企业？
21．（本小题满分12分）
已知函数f(x)=ax2+4x+b,(a,b∈R，a<0),设关于x的方程f(x)=0的两实根为x1和x2,f(x)=x的两实根为α和β。
（Ⅰ）若a,b均为负整数，|α-β|=1,求f(x)的解析式；
（Ⅱ）（理）若α<1<β<2，求证：x1x2<2。
（文）若α为负整数，f(1)=0,求证：1≤|x1-x2|＜2.
22．（本小题满分14分）
已知A、B是椭圆 的一条弦，M（2，1）是AB中点，以M为焦点，以椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线AB交于N（4，-1）。
（Ⅰ）设双曲线的离率心为e，试将e表示为椭圆的半长轴长的函数。
（Ⅱ）当椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数时，求椭圆的方程。
（Ⅲ）求出椭圆的长轴长的取范围。
[参考答案]
一、选择题
1．D 2．C 3．C 4．A 5．C 6．B 7．B 8．B 9．A 10．D 11．A 12．D
二、填空题
13．18； 14．理1，文1； 15． ；16．理③④，文②④
三、解答题
17．解：
、 是方程 的两实根
（1）
……4分
由已知
而 ……8分
满足（2） 不满足（1）故 ……12分
18．解：
（Ⅰ）
则 ……3分
即
解得 k=2,r=1 ……6分
理（Ⅱ）令 ……9分
即 ，于是 对应的点的轨迹为以（―1，―1）为圆心，以1为
半径的圆 ……12分
文（Ⅱ） ……8分
则
……10分
……12分
19．解：
（Ⅰ）∵ CD∥AB，AB 平面SAB ∴CD∥平面SAB面EFCD∩面SAB=EF，
∴CD∥EF ∵ 又 面
∴ 平面SAD，∴ 又
为直角梯形 ……4分
（Ⅱ） 平面 ∥ 平面SAD 即为二面角
D—EF—C的平面角 ……6分
中 而 且
为等腰三角形， ……8分
（Ⅲ）当 时， 为直角三角形
平面 平面
在 中， 为SB中点，
平面 平面 为直角三角形 ……12分
20．解：
（Ⅰ）设第n年甲产品创外汇an万元，乙产品创外汇bn万元
则
若 则 即
第3年开始即2002年甲产品创外汇就可以超过乙产品创外汇 ……4分
（Ⅱ）设该企业第n年创外汇 万元
则
当且仅当
即n=2时，取“=”号，即第2年，2001年创外汇最少为216万元，这年甲产品创外汇72万元，乙产品创外汇144万元 ……8分
（Ⅲ）2003年即第4年，设该企业创外汇为y
则
∴2003年该企业能进入国家重点企业。 ……12分
21．
（Ⅰ） 的两实根为 （1）
又令
则 的两实根为 （2） ……2分
……4分
即 均为负整数， 为负奇数，从而
满足（1），（2），故 ……6分
（Ⅱ）（理） ……8分
且 即 ……10分
由①得 ……12分
（Ⅱ）（文）
又由（Ⅰ）得
即
又 …… ……8分
不妨令 ……10分
〔－1，0〕， ……12分
22．解
（Ⅰ）设
∴
两式相减，得
……3分
则由双曲线定义及题设知
（Ⅱ）
∴ ，
而此时点M（2，1）在椭圆外，不可能是椭圆弦AB的中点，舍去。
故所求椭圆方程为 ……10分
（Ⅲ）由题设知
联立
得
由（2）知
当
当
故 ……14分 |
